Al inicio de este trabajo se proporciona una sólida introducción a los sistemas dinámicos y los conceptos básicos asociados a ellos. A través del estudio del sistema logístico µx(1 − x), originalmente popularizado por Robert May, se ilustra cómo un sistema dinámico determinista puede transitar del orden al caos. Este capítulo no solo sirve como una base teórica sino también como un puente hacia comprensiones más complejas, introduciendo la definición de caos según Devaney, que incluye las nociones de sensibilidad a las condiciones iniciales, transitividad topológica y puntos periódicos densos. Seguidamente se explora la perspectiva de Li y Yorke sobre el caos, destacando cómo diferentes enfoques dentro de la misma disciplina pueden conducir a variadas interpretaciones y entendimientos del comportamiento caótico. Este análisis no solo refleja la diversidad de pensamiento en el campo, sino que también subraya la importancia de una comprensión matizada cuando se abordan sistemas complejos. Para cerrar las bases teóricas sobre los sistemas dinánicos se avanza hacia una evaluación crítica de la redundancia en la definición de caos de Devaney. Mediante una argumentación rigurosa, se demuestra que la densidad de los puntos periódicos y la transitividad topológica son suficientes para implicar la dependencia sensible en las condiciones iniciales. Además, se analizan dos definiciones adicionales de caos propuestas por Wiggins y Martelli, ofreciendo una visión más amplia de cómo el caos puede ser caracterizado dentro de diferentes marcos teóricos. Finalmente, el último capítulo propone y desarrolla el diseño de una página web dedicada a facilitar el estudio y la visualización de sistemas dinámicos. Este recurso digital está pensado para proporcionar a estudiantes y profesionales una herramienta interactiva que les permita experimentar con sistemas dinámicos y observar la evolución de comportamientos caóticos. El desarrollo de esta herramienta no solo refleja la aplicación práctica de la teoría estudiada, sino que también subraya la importancia de la tecnología en la educación y la investigación matemática.
ABSTRACT
A solid introduction to dynamical systems and the basic concepts associated with them is provided at the beginning of this paper. Through the study of the logistic system µx(1 − x), originally popularized by Robert May, it illustrates how a deterministic dynamic system can transition from order to chaos. This chapter not only serves as a theoretical foundation but also as a bridge to more complex understandings, introducing Devaney’s definition of chaos, which includes the notions of sensitivity to initial conditions, topological transitivity, and dense periodic points. Li and Yorke’s perspective on chaos is then explored, highlighting how different approaches within the same discipline can lead to varied interpretations and understandings of chaotic behavior. This analysis not only reflects the diversity of thought in the field, but also underscores the importance of a nuanced understanding when dealing with complex systems. To close the theoretical foundations on dynamical systems, a critical evaluation of the redundancy in Devaney’s definition of chaos is advanced. By rigorous argumentation, it is demonstrated that the density of periodic points and topological transitivity are sufficient to imply sensitive dependence on initial conditions. Additionally, two alternative definitions of chaos proposed by Wiggins and Martelli are analyzed, offering a broader view of how chaos can be characterized within different theoretical frameworks. Finally, the last chapter proposes and develops the design of a web page dedicated to facilitating the study and visualization of dynamic systems. This digital resource is intended to provide students and professionals with an interactive tool that allows them to experiment with dynamic systems and observe the evolution of chaotic behaviors. The development of this tool not only reflects the practical application of the studied theory but also underscores the importance of technology in education and mathematical research.
Al inicio de este trabajo se proporciona una sólida introducción a los sistemas dinámicos y los conceptos básicos asociados a ellos. A través del estudio del sistema logístico µx(1 − x), originalmente popularizado por Robert May, se ilustra cómo un sistema dinámico determinista puede transitar del orden al caos. Este capítulo no solo sirve como una base teórica sino también como un puente hacia comprensiones más complejas, introduciendo la definición de caos según Devaney, que incluye las nociones de sensibilidad a las condiciones iniciales, transitividad topológica y puntos periódicos densos. Seguidamente se explora la perspectiva de Li y Yorke sobre el caos, destacando cómo diferentes enfoques dentro de la misma disciplina pueden conducir a variadas interpretaciones y entendimientos del comportamiento caótico. Este análisis no solo refleja la diversidad de pensamiento en el campo, sino que también subraya la importancia de una comprensión matizada cuando se abordan sistemas complejos. Para cerrar las bases teóricas sobre los sistemas dinánicos se avanza hacia una evaluación crítica de la redundancia en la definición de caos de Devaney. Mediante una argumentación rigurosa, se demuestra que la densidad de los puntos periódicos y la transitividad topológica son suficientes para implicar la dependencia sensible en las condiciones iniciales. Además, se analizan dos definiciones adicionales de caos propuestas por Wiggins y Martelli, ofreciendo una visión más amplia de cómo el caos puede ser caracterizado dentro de diferentes marcos teóricos. Finalmente, el último capítulo propone y desarrolla el diseño de una página web dedicada a facilitar el estudio y la visualización de sistemas dinámicos. Este recurso digital está pensado para proporcionar a estudiantes y profesionales una herramienta interactiva que les permita experimentar con sistemas dinámicos y observar la evolución de comportamientos caóticos. El desarrollo de esta herramienta no solo refleja la aplicación práctica de la teoría estudiada, sino que también subraya la importancia de la tecnología en la educación y la investigación matemática.
ABSTRACT
A solid introduction to dynamical systems and the basic concepts associated with them is provided at the beginning of this paper. Through the study of the logistic system µx(1 − x), originally popularized by Robert May, it illustrates how a deterministic dynamic system can transition from order to chaos. This chapter not only serves as a theoretical foundation but also as a bridge to more complex understandings, introducing Devaney’s definition of chaos, which includes the notions of sensitivity to initial conditions, topological transitivity, and dense periodic points. Li and Yorke’s perspective on chaos is then explored, highlighting how different approaches within the same discipline can lead to varied interpretations and understandings of chaotic behavior. This analysis not only reflects the diversity of thought in the field, but also underscores the importance of a nuanced understanding when dealing with complex systems. To close the theoretical foundations on dynamical systems, a critical evaluation of the redundancy in Devaney’s definition of chaos is advanced. By rigorous argumentation, it is demonstrated that the density of periodic points and topological transitivity are sufficient to imply sensitive dependence on initial conditions. Additionally, two alternative definitions of chaos proposed by Wiggins and Martelli are analyzed, offering a broader view of how chaos can be characterized within different theoretical frameworks. Finally, the last chapter proposes and develops the design of a web page dedicated to facilitating the study and visualization of dynamic systems. This digital resource is intended to provide students and professionals with an interactive tool that allows them to experiment with dynamic systems and observe the evolution of chaotic behaviors. The development of this tool not only reflects the practical application of the studied theory but also underscores the importance of technology in education and mathematical research. Read More
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