A lo largo de la historia, la humanidad se ha enfrentado al desafío de las pandemias y epidemias. Para hacer frente a estas crisis se requiere un enfoque multidisciplinar, en el que las Matemáticas desempeñan un papel crucial en el desarrollo de estrategias preventivas y estudios detallados de la dinámica de las enfermedades. Los modelos matemáticos nos permiten predecir los resultados y aplicar medidas para reducir los posibles impactos. La reciente pandemia de COVID-19 mostró la importancia de la modelización matemática para comprender y controlar las enfermedades infecciosas. Conceptos como aplanar la curva, curva de contagio o coeficiente de transmisión del virus, pasaron a ser incorporados de manera significativa en la sociedad. Este trabajo se centra en la modelización matemática de fenómenos epidemiológicos, en particular los que implican reinfección. Comenzamos explorando el modelo clásico SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), que ha sido fundamental en el campo de la epidemiología. Posteriormente se incorporan parámetros para modelar la dinámica vital y después se añade un parámetro para tener en cuenta la posible reinfección de indivduos, desarrollando así modelos más completos que reflejan con mayor precisión las complejidades de las epidemias del mundo real. El análisis incluye un estudio teórico que determina las condiciones bajo las que una enfermedad puede erradicarse o hacerse endémica, así como el comportamiento de la soluciones a largo plazo. Todo el estudio se hace bajo el marco teórico de las ecuaciones diferenciales, los sistemas dinámicos y la teoría de los atractores globales. Adicionalmente mediante el uso de simulaciones numéricas ilustramos todos los resultados anteriores y presentamos una simulación de distintos escenarios para ver cómo afecta el parámetro de reinfección a la evolución de la enfermedad. La inclusión del parámetro de reinfección al modelo nos permitirá estudiar cómo la pérdida de inmunidad y las reinfecciones afectan a la propagación de la enfermedad y ayudará a las autoridades sanitarias a establecer las medidas de control que deberán tomar para controlar las enfermedades o incluso erradicarlas.
ABSTRACT
Throughout history, society has faced the challenge of pandemics and epidemics. Addressing these crises requires a multidisciplinary approach, with mathematics playing a crucial role in the development of preventive strategies and detailed studies of disease dynamics. Mathematical models allow us to predict outcomes and implement measures to reduce potential impacts. The recent COVID-19 pandemic showed the importance of mathematical modelling in understanding and controlling infectious diseases. Concepts such as flattening the curve, contagion curve or virus transmission coefficient, came to be incorporated significantly into society. This paper focuses on the mathematical modelling of epidemiological phenomena, in particular those involving reinfection. We begin by studying the classical SIR (Susceptible-Infected-Recovered) model, which has been fundamental in epidemiology.After that, we consider new parameters to model vital dynamics and later a parameter to model reinfection. Then, we develop extended models which reflects in a better manner the complexities of real-world epidemics. The analysis includes a theoretical study that determines the conditions under which a disease can be eradicated or becomes endemic, and the long-term behaviour of the solutions. The whole study is done under the theoretical framework of differential equations, dynamical systems and the theory of global attractors. Additionally, using numerical simulations, we will contrast the previous results and simulate different scenarios to illustrate how the re-infection parameter affects the evolution of the disease. The inclusion of the reinfection parameter in the model will allow us to study how loss of immunity and reinfections affect the spread of the disease and will help health authorities to establish the control measures they should take to control or even eradicate diseases.
A lo largo de la historia, la humanidad se ha enfrentado al desafío de las pandemias y epidemias. Para hacer frente a estas crisis se requiere un enfoque multidisciplinar, en el que las Matemáticas desempeñan un papel crucial en el desarrollo de estrategias preventivas y estudios detallados de la dinámica de las enfermedades. Los modelos matemáticos nos permiten predecir los resultados y aplicar medidas para reducir los posibles impactos. La reciente pandemia de COVID-19 mostró la importancia de la modelización matemática para comprender y controlar las enfermedades infecciosas. Conceptos como aplanar la curva, curva de contagio o coeficiente de transmisión del virus, pasaron a ser incorporados de manera significativa en la sociedad. Este trabajo se centra en la modelización matemática de fenómenos epidemiológicos, en particular los que implican reinfección. Comenzamos explorando el modelo clásico SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), que ha sido fundamental en el campo de la epidemiología. Posteriormente se incorporan parámetros para modelar la dinámica vital y después se añade un parámetro para tener en cuenta la posible reinfección de indivduos, desarrollando así modelos más completos que reflejan con mayor precisión las complejidades de las epidemias del mundo real. El análisis incluye un estudio teórico que determina las condiciones bajo las que una enfermedad puede erradicarse o hacerse endémica, así como el comportamiento de la soluciones a largo plazo. Todo el estudio se hace bajo el marco teórico de las ecuaciones diferenciales, los sistemas dinámicos y la teoría de los atractores globales. Adicionalmente mediante el uso de simulaciones numéricas ilustramos todos los resultados anteriores y presentamos una simulación de distintos escenarios para ver cómo afecta el parámetro de reinfección a la evolución de la enfermedad. La inclusión del parámetro de reinfección al modelo nos permitirá estudiar cómo la pérdida de inmunidad y las reinfecciones afectan a la propagación de la enfermedad y ayudará a las autoridades sanitarias a establecer las medidas de control que deberán tomar para controlar las enfermedades o incluso erradicarlas.
ABSTRACT
Throughout history, society has faced the challenge of pandemics and epidemics. Addressing these crises requires a multidisciplinary approach, with mathematics playing a crucial role in the development of preventive strategies and detailed studies of disease dynamics. Mathematical models allow us to predict outcomes and implement measures to reduce potential impacts. The recent COVID-19 pandemic showed the importance of mathematical modelling in understanding and controlling infectious diseases. Concepts such as flattening the curve, contagion curve or virus transmission coefficient, came to be incorporated significantly into society. This paper focuses on the mathematical modelling of epidemiological phenomena, in particular those involving reinfection. We begin by studying the classical SIR (Susceptible-Infected-Recovered) model, which has been fundamental in epidemiology.After that, we consider new parameters to model vital dynamics and later a parameter to model reinfection. Then, we develop extended models which reflects in a better manner the complexities of real-world epidemics. The analysis includes a theoretical study that determines the conditions under which a disease can be eradicated or becomes endemic, and the long-term behaviour of the solutions. The whole study is done under the theoretical framework of differential equations, dynamical systems and the theory of global attractors. Additionally, using numerical simulations, we will contrast the previous results and simulate different scenarios to illustrate how the re-infection parameter affects the evolution of the disease. The inclusion of the reinfection parameter in the model will allow us to study how loss of immunity and reinfections affect the spread of the disease and will help health authorities to establish the control measures they should take to control or even eradicate diseases. Read More
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