Este Trabajo Fin de Grado aborda la modelización y el posterior estudio de fenómenos epidemiológicos, donde se tienen en cuenta diferentes estrategias de vacunación sobre los individuos que conforman la población a estudiar. Una vez que se obtiene el modelo matemático en cada caso, dado por un sistema de ecuaciones diferenciales tipo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), se estudia la existencia y unicidad de solución global no negativa del mismo. Asumiremos en este trabajo que la población donde se desarrolla la epidemia permanece constante, lo que nos permite obtener un sistema diferencial reducido SI (Susceptible-Infectado) que contiene toda la información relevante sobre el fenómeno que deseamos estudiar. De hecho, el siguiente paso que se lleva a cabo es obtener los puntos de equilibrio de dicho sistema reducido, para luego hacer un estudio de la estabilidad de los mismos, tanto a nivel local como global. De esta forma, podemos encontrar condiciones bajo las cuales la epidemia se erradica o bien se vuelve endémica. Además, es posible observar cómo influyen las tasas de vacunación en la evolución de la epidemia y qué puede hacerse para controlarla y evitar que se vuelva endémica. Por otra parte, el estudio teórico realizado se complementa con simulaciones numéricas, incluyendo tanto escenarios ficticios como situaciones basadas en datos reales obtenidos del inicio de la COVID-19 en España en 2020. Esto permite ilustrar los resultados obtenidos anteriormente a lo largo del trabajo y observar, en particular, la eficacia de distintas estrategias de vacunación de manera gráfica, útil para la planificación de respuestas sanitarias en caso de epidemia. Finalmente, se incluye una comparación entre los diferentes modelos matemáticos estudiados, así como una serie de conclusiones que se consideran importantes tras la realización del trabajo.
ABSTRACT
This Final Degree Project addresses the modelling and subsequent study of epidemiological phenomena, taking into account different vaccination strategies for the individuals in the population under study. Once the mathematical model is obtained in each case, represented by a system of SIR (Susceptible-Infected-Recovered) differential equations, the existence and uniqueness of a global non-negative solution are analyzed. In this work, we assume that the population where the epidemic develops remains constant, allowing us to derive a reduced SI (Susceptible-Infected) differential system that contains all relevant information about the phenomenon we aim to study. In fact, the next step involves finding the equilibrium points of this reduced system, followed by a stability analysis of these points at both local and global levels. This approach enables us to identify conditions under which the epidemic is eradicated or becomes endemic. Additionally, it allows us to observe how vaccination rates influence the evolution of the epidemic and determine what measures can be taken to control it and prevent it from becoming endemic. Furthermore, the theoretical study is complemented with numerical simulations, including both hypothetical scenarios and real situations based on data from the onset of the COVID-19 pandemic in Spain in 2020. This illustrates the previously obtained results throughout the work and, in particular, graphically demonstrates the effectiveness of various vaccination strategies, which is useful for planning health responses in case of an epidemic. Finally, a comparison between the different mathematical models studied is included, as well as a series of important conclusions derived from the work.
Este Trabajo Fin de Grado aborda la modelización y el posterior estudio de fenómenos epidemiológicos, donde se tienen en cuenta diferentes estrategias de vacunación sobre los individuos que conforman la población a estudiar. Una vez que se obtiene el modelo matemático en cada caso, dado por un sistema de ecuaciones diferenciales tipo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado), se estudia la existencia y unicidad de solución global no negativa del mismo. Asumiremos en este trabajo que la población donde se desarrolla la epidemia permanece constante, lo que nos permite obtener un sistema diferencial reducido SI (Susceptible-Infectado) que contiene toda la información relevante sobre el fenómeno que deseamos estudiar. De hecho, el siguiente paso que se lleva a cabo es obtener los puntos de equilibrio de dicho sistema reducido, para luego hacer un estudio de la estabilidad de los mismos, tanto a nivel local como global. De esta forma, podemos encontrar condiciones bajo las cuales la epidemia se erradica o bien se vuelve endémica. Además, es posible observar cómo influyen las tasas de vacunación en la evolución de la epidemia y qué puede hacerse para controlarla y evitar que se vuelva endémica. Por otra parte, el estudio teórico realizado se complementa con simulaciones numéricas, incluyendo tanto escenarios ficticios como situaciones basadas en datos reales obtenidos del inicio de la COVID-19 en España en 2020. Esto permite ilustrar los resultados obtenidos anteriormente a lo largo del trabajo y observar, en particular, la eficacia de distintas estrategias de vacunación de manera gráfica, útil para la planificación de respuestas sanitarias en caso de epidemia. Finalmente, se incluye una comparación entre los diferentes modelos matemáticos estudiados, así como una serie de conclusiones que se consideran importantes tras la realización del trabajo.
ABSTRACT
This Final Degree Project addresses the modelling and subsequent study of epidemiological phenomena, taking into account different vaccination strategies for the individuals in the population under study. Once the mathematical model is obtained in each case, represented by a system of SIR (Susceptible-Infected-Recovered) differential equations, the existence and uniqueness of a global non-negative solution are analyzed. In this work, we assume that the population where the epidemic develops remains constant, allowing us to derive a reduced SI (Susceptible-Infected) differential system that contains all relevant information about the phenomenon we aim to study. In fact, the next step involves finding the equilibrium points of this reduced system, followed by a stability analysis of these points at both local and global levels. This approach enables us to identify conditions under which the epidemic is eradicated or becomes endemic. Additionally, it allows us to observe how vaccination rates influence the evolution of the epidemic and determine what measures can be taken to control it and prevent it from becoming endemic. Furthermore, the theoretical study is complemented with numerical simulations, including both hypothetical scenarios and real situations based on data from the onset of the COVID-19 pandemic in Spain in 2020. This illustrates the previously obtained results throughout the work and, in particular, graphically demonstrates the effectiveness of various vaccination strategies, which is useful for planning health responses in case of an epidemic. Finally, a comparison between the different mathematical models studied is included, as well as a series of important conclusions derived from the work. Read More
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