Este trabajo de fin de grado investiga el ámbito de los números p-ádicos, un concepto fundamental en la teoría de números que extiende la aritmética de los números racionales. Introducidos por Kurt Hensel a finales del siglo XIX, los números p-ádicos proporcionan una representación única de las congruencias numéricas y tienen implicaciones en el análisis matemático y la topología. La introducción sienta las bases al discutir las motivaciones originales de Hensel y el desarrollo subsiguiente de los números p-ádicos, preparando el escenario para una exploración más profunda de sus propiedades y aplicaciones. El primer capítulo sustancial profundiza en los aspectos fundamentales de la aritmética p-ádica, incluyendo la Analogía de Hensel y sus implicaciones operativas. Esta sección explora cálculos básicos y la importancia de las congruencias módulo p n , mostrando cómo los números p-ádicos ofrecen una perspectiva diferente sobre la teoría de números. A través de ejemplos y cálculos detallados, este capítulo demuestra la computación práctica de los números p-ádicos, ofreciendo una clara comprensión de sus propiedades aritméticas. Basándose en las propiedades básicas, el siguiente capítulo explora los conceptos topológicos y algebraicos de los números p-ádicos a través de los valores absolutos y valuaciones. Discute tanto las valuaciones arquimedianas como no arquimedianas y conecta estos conceptos con las estructuras algebraicas de los números p-ádicos. Esta exploración revela las interconexiones profundas entre las propiedades algebraicas y la estructura topológica de los campos p-ádicos, subrayando la versatilidad y profundidad del análisis p-ádico. El enfoque luego se traslada a la construcción real de los números p-ádicos, detallando los procesos de definición de valores absolutos en Q y la compleción de estos valores para formar Qp. Este capítulo es crucial ya que ilustra la transición desde los conceptos teóricos hasta la implementación práctica de los números, enriqueciendo la comprensión del lector sobre los procesos matemáticos y teóricos involucrados en el desarrollo de sistemas p-ádicos.
ABSTRACT
This bachelor’s thesis investigates the realm of p-adic numbers, a fundamental concept in number theory that extends the arithmetic of rational numbers. Introduced by Kurt Hensel in the late 19th century, p-adic numbers provide a unique representation of numerical congruences and have implications in mathematical analysis and topology. The introduction lays the groundwork by discussing Hensel’s original motivations and the subsequent development of p-adic numbers, setting the stage for a deeper exploration of their properties and applications. The first substantive chapter delves into the foundational aspects of p-adic arithmetic, including Hensel’s Analogy and its operational implications. This section explores basic computations and the significance of congruences modulo p n , illustrating how p-adic numbers provide a different perspective on number theory. Through detailed examples and computations, this chapter demonstrates the practical computation of p-adic numbers, offering a clear understanding of their arithmetic properties. Building on the basic properties, the next chapter explores the topological and algebraic implications of p-adic numbers through the lens of absolute values and valuations. It discusses both archimedean and non-archimedean valuations and connects these concepts to the algebraic structures of p-adic numbers. This examination reveals the deep interconnections between algebraic properties and the topological structure of p-adic fields, underscoring the versatility and depth of p-adic analysis. The focus then shifts to the actual construction of p-adic numbers, detailing the processes of defining absolute values on Q and the completion of these values to form Qp. This chapter is pivotal as it illustrates the transition from theoretical concepts to the tangible construction of p-adic numbers, enhancing the reader’s comprehension of the mathematical and theoretical processes involved in developing p-adic systems.
Este trabajo de fin de grado investiga el ámbito de los números p-ádicos, un concepto fundamental en la teoría de números que extiende la aritmética de los números racionales. Introducidos por Kurt Hensel a finales del siglo XIX, los números p-ádicos proporcionan una representación única de las congruencias numéricas y tienen implicaciones en el análisis matemático y la topología. La introducción sienta las bases al discutir las motivaciones originales de Hensel y el desarrollo subsiguiente de los números p-ádicos, preparando el escenario para una exploración más profunda de sus propiedades y aplicaciones. El primer capítulo sustancial profundiza en los aspectos fundamentales de la aritmética p-ádica, incluyendo la Analogía de Hensel y sus implicaciones operativas. Esta sección explora cálculos básicos y la importancia de las congruencias módulo p n , mostrando cómo los números p-ádicos ofrecen una perspectiva diferente sobre la teoría de números. A través de ejemplos y cálculos detallados, este capítulo demuestra la computación práctica de los números p-ádicos, ofreciendo una clara comprensión de sus propiedades aritméticas. Basándose en las propiedades básicas, el siguiente capítulo explora los conceptos topológicos y algebraicos de los números p-ádicos a través de los valores absolutos y valuaciones. Discute tanto las valuaciones arquimedianas como no arquimedianas y conecta estos conceptos con las estructuras algebraicas de los números p-ádicos. Esta exploración revela las interconexiones profundas entre las propiedades algebraicas y la estructura topológica de los campos p-ádicos, subrayando la versatilidad y profundidad del análisis p-ádico. El enfoque luego se traslada a la construcción real de los números p-ádicos, detallando los procesos de definición de valores absolutos en Q y la compleción de estos valores para formar Qp. Este capítulo es crucial ya que ilustra la transición desde los conceptos teóricos hasta la implementación práctica de los números, enriqueciendo la comprensión del lector sobre los procesos matemáticos y teóricos involucrados en el desarrollo de sistemas p-ádicos.
ABSTRACT
This bachelor’s thesis investigates the realm of p-adic numbers, a fundamental concept in number theory that extends the arithmetic of rational numbers. Introduced by Kurt Hensel in the late 19th century, p-adic numbers provide a unique representation of numerical congruences and have implications in mathematical analysis and topology. The introduction lays the groundwork by discussing Hensel’s original motivations and the subsequent development of p-adic numbers, setting the stage for a deeper exploration of their properties and applications. The first substantive chapter delves into the foundational aspects of p-adic arithmetic, including Hensel’s Analogy and its operational implications. This section explores basic computations and the significance of congruences modulo p n , illustrating how p-adic numbers provide a different perspective on number theory. Through detailed examples and computations, this chapter demonstrates the practical computation of p-adic numbers, offering a clear understanding of their arithmetic properties. Building on the basic properties, the next chapter explores the topological and algebraic implications of p-adic numbers through the lens of absolute values and valuations. It discusses both archimedean and non-archimedean valuations and connects these concepts to the algebraic structures of p-adic numbers. This examination reveals the deep interconnections between algebraic properties and the topological structure of p-adic fields, underscoring the versatility and depth of p-adic analysis. The focus then shifts to the actual construction of p-adic numbers, detailing the processes of defining absolute values on Q and the completion of these values to form Qp. This chapter is pivotal as it illustrates the transition from theoretical concepts to the tangible construction of p-adic numbers, enhancing the reader’s comprehension of the mathematical and theoretical processes involved in developing p-adic systems. Read More
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